Mathematical analysis of a class of stochastic epidemic models

Abstract

Over the past few decades, epidemics caused by highly pathogenic viruses such as the coronavirus, measles virus, and human immunodeficiency virus (HIV) have posed severe threats to public health. From a microscopic perspective, stochasticity plays a crucial role in viral replication, yet theoretical investigations of epidemic models incorporating biologically plausible stochastic effects remain limited. This thesis aims to address this gap by analyzing the evolutionary dynamics of stochastic epidemic models and assessing the impact of stochastic perturbations on viral pathogenesis and disease progression. In this work, we develop and study stochastic models that incorporate viral production mechanisms while integrating the Ornstein-Uhlenbeck or Black-Karasinski process. Specifically, we assume that key epidemiological parameters-such as the conversion rate from an eclipse phase to an infectious state—evolve according to the Ornstein-Uhlenbeck process. Within a well-defined mathematical framework, we establish and extend non-standard analytical approaches to demonstrate fundamental properties of these stochastic models, including the existence and uniqueness of global solutions, the presence of stationary distributions, and the conditions under which disease extinction occurs. Furthermore, we show that introducing stochastic perturbations in this manner is both mathematically rigorous and biologically justified. To support our theoretical findings, numerical simulations are conducted at the end of each section. These simulations validate the analytical results and illustrate the accuracy of the derived conditions and threshold parameters.

على مدار العقود القليلة الماضية، شكلت الأوبئة التي تسببها الفيروسات شديدة العدوى، مثل فيروس كورونا، وفيروس الحصبة، وفيروس نقص المناعة البشرية HIV، تهديدًا خطيرًا للصحة العامة. ومن منظور مجهري، تلعب العشوائية دورًا حاسمًا في عملية تكاثر الفيروسات، ومع ذلك، لا تزال الدراسات النظرية حول النماذج الوبائية التي تتضمن تأثيرات عشوائية بيولوجية معقولة محدودة. تهدف هذه الأطروحة إلى سد هذه الفجوة من خلال تحليل الديناميكيات التطورية للنماذج الوبائية العشوائية ودراسة تأثير الاضطرابات العشوائية على تطور الفيروسات وتطور الأمراض بشكل عام. في هذا العمل، نقوم بتطوير ودراسة نماذج عشوائية تدمج آليات إنتاج الفيروسات مع عمليات أورنشتاين-أولنبيك أو بلاك-كاراسينسكي. على وجه التحديد، نفترض أن بعض المعلمات الوبائية الأساسية، مثل معدل انتقال الخلايا من الطور الكامن إلى الطور المعدي، تتبع عملية أورنشتاين-أولنبيك. ضمن إطار رياضي محدد بدقة، نقوم بتطوير واعتماد مناهج تحليلية جديدة وغير تقليدية لإثبات الخصائص الأساسية لهذه النماذج العشوائية، بما في ذلك وجود وحيدة الحلول العالمية، ووجود توزيع ثابت، وتحديد الشروط اللازمة لانقراض المرض. بالإضافة إلى ذلك، نوضح أن إدخال الاضطرابات العشوائية بهذه الطريقة له مبررات رياضية قوية وأساس بيولوجي واضح. لدعم النتائج النظرية، يتم إجراء محاكاة رقمية في نهاية كل قسم، حيث تؤكد هذه المحاكاة صحة التحليل النظري وتوضح دقة الشروط والمعايير المستخلصة