Contribution to the modeling and mathematical analysis of some stochastic epidemiological models

Abstract

Mathematical models, supported by computer simulations, are valuable tools for developing and testing theories related to complex biological systems involving diseases. They facilitate the evaluation of quantitative hypotheses, estimation of key parameters from rael data, sensitivity analysis with respect to parameter changes, and the implementation of optimal control strategies for certain parameters. Modeling is particularly vital in epidemiology, where the underlying complexity of disease transmission is often not fully understood, and conducting experimental studies is generally not feasible. This thesis focuses on the investigation of some nonlinear dynamical systems that describe the spread of infectious diseases. Our main interest lies in the analysis of stochastic epidemic models, especially those based on compartmental frameworks. These models, with or without time delays, incorporate the effects of two specific types of environmental noise: Gaussian white noise and Lévy noise. The objective is to examine how these types of stochastic disturbances influence disease dynamics, thereby contributing to a deeper understanding of epidemic modeling. We were interested in proving the existence of a positive solution, its uniqueness, the extinction of the epidemic, the existence of a stationary distribution, the persistence in mean and illustrate the results by numerical simulation.

Les mod`eles math´ematiques, soutenus par des simulations informatiques, sont des outils pr´ecieux pour d´evelopper et tester des th´eories relatives `a des syst`emes biologiques complexes impliquant des maladies. Ils facilitent l’´evaluation d’hypoth`eses quantitatives, l’estimation des param`etres cl´es `a partir des donn´ees re`el, l’analyse de sensibilit´e par rapport aux variations des param`etres, ainsi que la mise en oeuvre de strat´egies de contrˆole optimal pour certains param`etres. La mod´elisation est particuli`erement essentielle en ´epid´emiologie, o`u la complexit´e sous-jacente de la transmission des maladies est souvent mal comprise, et o`u la r´ealisation d’´etudes exp´erimentales n’est g´en´eralement pas faisable. Cette th`ese porte sur l’´etude de certains syst`emes dynamiques non lin´eaires d´ecrivant la propagation des maladies infectieuses. Notre principal int´erˆet r´eside dans l’analyse des mod`eles ´epid´emiques stochastiques, notamment ceux fond´es sur des cadres compartimentaux. Ces mod`eles, avec ou sans d´elais temporels, int`egrent les effets de deux types sp´ecifiques de bruits environnementaux : le bruit blanc gaussien et le bruit de L´evy. L’objectif est d’examiner comment ces types de perturbations stochastiques influencent la dynamique des maladies, contribuant ainsi `a une compr´ehension plus approfondie de la mod´elisation ´epid´emique. Nous nous sommes int´eress´es `a d´emontrer l’existence d’une solution positive, son unicit´e, l’extinction de l’´epid´emie, l’existence d’une distribution stationnaire, la persistance en moyenne, et `a illustrer les r´esultats par des simulations num´eriques.

تُعد النماذج الرياضية، بدعم من المحاكاة الحاسوبية، أدوات قيّمة لتطوير واختبار النظريات المتعلقة بالأنظمة البيولوجية المعقدة التي تشمل الأمراض. فهي تتيح تقييم الفرضيات الكمية، وتقدير قيم المعلمات الأساسية من المعطيات الواقعية، وتحليل الحساسية لهذة المعلمات ، إضافةً إلى تطبيق استراتيجيات التحكم الأمثل في بعض المعلمات. وتُعتبر النمذجة ضرورية بشكل خاص في علم الأوبئة، حيث غالبا ما تكون آليات انتشار المرض غير مفهومة بالكامل، كما أن إجراء التجارب ليس ممكنا في معظم الحالات. تركز هذه الرسالة على دراسة بعض الأنظمة الديناميكية غير الخطية التي تصف انتشار الأمراض المعدية. وينصب اهتمامنا الرئيسي على تحليل النماذج الوبائية العشوائية، وخصوصا النماذج العشوائية القائمة على تقسيم السكان إلى فئات. تتضمن هذه النماذج، سواء كانت تحتوي على تأخيرات زمنية أو لا، تأثير نوعين محددين من الضوضاء البيئية: الضوضاء البيضاء الغاوسية وضوضاء ليفي. والهدف من ذلك هو دراسة كيفية تأثير هذه الأنواع من العمليات العشوائية على ديناميكيات المرض، مما يساهم في تعميق فهمنا لنمذجة الأوبئة. لقد كنا مهتمين بإثبات وجود حل إيجابي، تفرده، انقراض الوباء، وجود توزيع ثابت، الاستمرار في المتوسط وتوضيح النتائج من خلال المحاكاة العددية.