Sur l’existence et la stabilité de solution d’équations différentielles stochastiques d’ordre fractionnaire

Abstract

In the present work we have described the different definitions and properties of the fractional derivative, the definition and the conditions of the existence and stability of the stochastic fractional differential equations. As an application, we have given a study on the existence, unicity and asymptotic stability of a nonlinear stochastic fractional differential equation with infinite delay in a Hilbert space, using the semigroup theory and the Banach fixed-point theorem. In fact, in this work we have developed the work of Sakthivel et al. (2012). We also gave the basic definitions and notions of the fractional calculation, the most widely used fractional derivative definitions such as the Grunwaldletnikov, Riemann-Liouville definition, and the derivative in the sense of Caputo. We give some notions of probabilities and stochastic processes. We have introduced the terms and concepts essential for the definition of the Brownian motion and the family of Ito processes which have allowed to establish several practical formulas which form the basis of differential calculus and stochastic integral

Résumé Dans le présent travail, nous avons exposé les différentes définitions et propriétés de la dérivée d’ordre fractionnaire, les définitions et les conditions d’existence et de stabilité de solution des équations différentielles stochastiques. Comme application, nous avons donné une étude sur l’existence, l’unicité et la stabilité asymptotique d’une équation différentielle stochastique neutre d’ordre fractionnaire avec retard infini dans un espace de Hilbert, En utilisant la théorie des semi-gropues et le théorème de point fixe de Banach. En fait, dans ce travail nous avons développé le travail de Sakthivel et al. (2012). Nous avons aussi donné les définitions élémentaires et notions de base relatives au calcul fractionnaire, les définitions de la dérivée d’ordre fractionnaire les plus utilisées comme la définition de Grunwald-letnikov, Riemann-Liouville, ainsi que la dérivée au sens de Caputo, quelques notions de probabilités et de processus stochastique. On introduit les termes et concepts essentiels pour la définition du mouvement Brownien et la famille des processus d’Itô qui elles ont permeté d’établir plusieurs formules pratiques qui forment la base du calcul différentiel et intégral stochastique.